１＋１＝２は無矛盾であることの証明なんかが出来ちゃいます

１）１＋１＝２の同義反復が出来ないと仮定する。

２）１＋１＝２ならば１＋１≠２である。

与式
⇔
１＋１≠２または１＋１≠２
⇔
１＋１≠２

ゆえに１＋１≠２が導かれたが、この結論は１＋１＝２であることと矛盾する。

３）矛盾の原因は１）で行った仮定にある。

４）ゆえに１＋１＝２の同義反復は出来ることが証明できた。

この結論は「１＋１＝２」を「任意の真である数学命題Ａ」に置き替えることによって一般的に証明可能ですから、そうすると「任意の真である数学命題の同義反復は証明可能である」は背理法によって肯定されます。さらにこの場合は任意の偽である数学命題の同義反復は否定されますから、合わせて「数論におけるすべての真である数学命題は無矛盾である」は証明されました。

以上より、数学の無矛盾性は背理法によって証明可能ですが、あとは数学基礎論における「間接法で証明可能であることは直説法で証明可能である」を意味する定理などが存在するという話が気になると言えば気になります。

その定理の反例であるように考えてもらって差し支えないと存じます。